Bonjour pouvez vous m’aider à calculer les intégrales du 1e exercice

Bonjour,

Dans cet exo, lorsque nous utilisons les intégrales sans borne cela signifie que nous recherchons un ensemble de fonctions, l'ensemble des primitives en fait.

[tex]\displaystyle \int \ \dfrac{dx}{(ax+b)^6} =\{\text{fonctions f sur IR telles que pour tout x de IR }f'(x)=\dfrac1{(ax+b)^6}} \}[/tex]

Tu sais que la dérivée de la fonction qui à x associe [tex]x^n[/tex]

est la fonction qui à x associe [tex]nx^{n-1}[/tex]

De même, écris de manière abusive, [tex](x^{-n})'=-nx^{-n-1}[/tex]

Donc un bon candidat ici est

[tex]f(x)=\dfrac1{(ax+b)^5}[/tex]

et quand je dérive j'obtiens

[tex]f'(x)=\dfrac{-5a}{(ax+b)^6}[/tex]

De même nous savons que deux primitives différent par une constante réelle donc l'ensemble recherchée ici est, si a différent de 0

[tex]\displaystyle \int \ \dfrac{dx}{(ax+b)^6} =\{\text{fonctions f sur IR prive de -b/a }\\\\\text{telles que pour tout x de IR prive de -b/a, C reel quelconque }\\ \\f(x)=\dfrac{-1}{5a(ax+b)^5}}+C \}[/tex]

Nous pouvons vérifier que c'est juste en dérivant ces fonctions et nous retombons sur le résultat.

Le cas où a = 0 et b différent de 0 l'ensemble des solutions sont les fonctions affines sur IR de la forme

[tex]\dfrac{x}{b^6}+C[/tex].

Si a = b= 0 ce n'est pas défini.

Pour la deuxième intégrale, si je pose, pour a différent de 0,

[tex]f(x)=exp(ax+b)\\\\f'(x)=a \times exp(ax+b)[/tex]

Donc les primitives sont de la forme

[tex]F(x)=\dfrac1{a} \times exp(ax+b) + C[/tex]

avec C un réel quelconque.

Si a = 0 et b différent de 0 l'ensemble des solutions sont les fonctions affines sur IR de la forme

[tex]exp(b) x+C[/tex].

Si a = b= 0 c'est le cas trivial où l'ensemble des solutions sont les fonctions affines sur IR de la forme

[tex]x + C[/tex].

Pour le dernier cas, pour a différent de 0, ce sont les fonctions de la forme

[tex]f(x)=\dfrac{-cos(ax+b)}{a}+C[/tex]

Pour a = 0 et b différent de 0 l'ensemble des solutions sont les fonctions affines sur IR de la forme

[tex]sin(b) x+C[/tex].

Si a = b= 0 c'est le cas trivial où l'ensemble des solutions sont les fonctions constantes sur IR.

Merci