Bonjour, quelqu'un pourrait m'aider pour cet exercice portant sur la lois des sinus... Al-Kashi de niveau maths 2nde-1ere ...

Réponse :

Explications étape par étape :

■ dans le triangle ABC :

  angle â = 180 - 36 - 53 = 91° .

■ Al-Kashi dit dans le triangle ABC :

   250² = b² + c² - 2 bc cos91°

   donc b² + c² = 62500 + 0,0349 bc        

   c² = 250² + b² - 2*250*b*cos36°

   donc c² = 62500 + b² - 404,5 b

   d' où 2b² - 404,5 b = 0,0349 bc

               2 b - 404,5 = 0,0349 c

                   b = 202,25 + 0,01745 c

                   b² = 40905 + 7,0585 c + 0,0003045 c²

    résumé :

40905+7,0585c+0,0003045c²+c² = 62500+0,0349(202,25c+0,01745c²)

     40905+7,0585c+1,0003045c² = 62500+7,0585c+0,000609c²

                                 0,9996955c² = 21595

                                                    c² ≈ 21601,6

                                                    c  ≈ 147 .

■ conclusion : AB ≈ 147 ( et AC ≈ 205 )

■ dans le triangle rectangle ABN :

  cos51° = AB/AN donne

  AN = AB/cos51° = 147/cos51°

  d' où AN ≈ 233,6 .

■ Al-Kashi dans ABM :

  a² = 147² + b² - 2*147*b*cos51°

  donc a² = 21609 + b² - 185 b

  147² = a² + b² - 2ab*cos76°

  donc 21609 = a² + b² - 0,48384ab

   d' où 2b² - 185b - 0,48384ab = 0

                 2b - 185 - 0,48384a = 0

                    b = 92,5 + 0,24192a

                    b² = 8556 + 44,755a + 0,058525a²

   résumé :

   a² = 21609+8556+44,755a+0,058525a² - 17112,5 - 4,4755a

    0,941475a² + 40,28a - 30165 = 0

     a ≈ 158,9 d' où b ≈ 130,9 .

■ conclusion : AM ≈ 130,9 .

■ ■ conclusion finale :

      AM ≈ 130,9 ; MN ≈ 102,7 ; AN ≈ 233,6 .

■ remarque :

   si ABDC avait été un trapèze rectangle

       avec angles droits en A et B

      --> ça aurait été moins compliqué ! ☺