Bonjour, Pouvez vous m'aidez pour cet exercice s'il vous plaît ? ​

Réponse :

soit  f(x) = a x + b + c/x    définie sur R*

1) déterminer  trois réels  a ; b et c  tels que :

- la courbe C passe par  A(2 ; 1)

- en x = 2  la tangente est horizontale

- en x = 1  la tangente est // à la droite d'équation  y = 3/2) x + 2

- f(2) =  2 a + b + c/2 = 1

- f '(x) = a - c/x²  ⇒ f '(2) = a - c/4 = 0  ⇔ c = 4 a

- f '(1) = a - c = 3/2  ⇔ c = a - 3/2

{2 a + b + 4 a/2 = 1  ⇔ 2 a + b + 2 a = 1  ⇔ 4 a + b = 1

{a + b + c = 1/2  ⇔ a + b + (a - 3/2) = 1/2  ⇔ 2 a + b = 2

on a le système suivant :

{4 a + b = 1

{2 a + b = 2

...........................

2 a + 0 = - 1  ⇔ a = - 1/2

4*(-1/2) + b = 1  ⇔ - 2  + b = 1  ⇔ b = 3

c = 4*(-1/2) = - 2

donc   f(x) = - 1/2) x + 3 - 2/x

3) étudier la position relative de d et C

        f(x) - y = - 1/2) x + 3 - 2/x - (- 1/2  x + 3) = - 2/x

    étudions le signe de f(x) - y = - 2/x

         x     - ∞              0              + ∞

      - 2                -       ||         -  

        x                -        ||         +      

      - 2/x            +        ||         -

f(x) - y  > 0  sur  l'intervalle ]- ∞ ; 0[   ⇒ la courbe C est au dessus de d

f(x) - y < 0    sur l'intervalle ]0 ; + ∞[  ⇒ la courbe C est en dessous de d

étape par étape