Exercice 4: A) comparer (2x)/(x^2+1) et (2x-1)/(x^2). En deduire la comparaison, sans calcul de 14/50 et 13/49. B) comparer (x+1) et (3-x^-1). C) comparer (4x)/

A) On suppose pour cette question que x≠0
Un carré étant toujours positif on peut écrire que :
(x-1)²≥0
⇔x²-2x+1≥0
⇔2x-(x²+1)≤0
⇔2x³-2x³+2x-(x²+1)≤0
⇔2x(x²+1)-(x²+1)-2x³≤0
⇔(x²+1)(2x-1)≤2x³
⇔(2x-1)≤2x³/(x²+1) (on peut diviser par x²+1 car x²+1>0)
⇔(2x-1)/x²≤2x/(x²+1) (par hypothèse x≠0)
Donc quelque soit x≠0, on a :
[tex] \frac{2x-1}{ x^{2} } \leq \frac{2x}{ x^{2} +1} [/tex]

Avec x=7, on en déduit que 13/49<14/50

B) On suppose pour cette question que x≠0
On part à nouveau de (x-1)²≥0
⇔x²-2x+1≥0
⇔x²+x-3x+1≥0
⇔x²+x≥3x-1
Si x>0, on divise par x et on obtient :
x+1≥3-1/x
Si x<0, on divise par x et on obtient :
x+1≤3-1/x
Donc sur IR+* on a x+1≥3-1/x
et sur IR-* on a x+1≤3-1/x

C) On suppose que x+y>0 et y>0
(x-y)²≥0
⇔x²-2xy+y²≥0
⇔x²+y²+2xy-4xy≥0
⇔(x+y)²-4xy≥0
⇔(x+y)(x+y)≥4xy
⇔(x+y)/y≥4x/(x+y)
Donc quelques soient x et y >0 on a :
[tex] \frac{x+y}{y} \geq \frac{4x}{x+y} [/tex]