Aidez mwa s;il vous plait Mr Dupond veut avoir une piscine de forme rectangulaire dans son jardin. Il souhaite la construire en partie en dehors de la terasse d
Mathématiques
damsletamoul
Question
Aidez mwa s;il vous plait
Mr Dupond veut avoir une piscine de forme rectangulaire dans son jardin.
Il souhaite la construire en partie en dehors de la terasse donne AB= 8, AC= 16
AMNP schematise la mpartie de la piscine. On donne AD= 5
AMRD l’autre partie de la piscine. On donne AD= 5
A. Etude de differentes fonctions
On pose x= AM
On appelle f(x) l’aire du rectangle AMNP et g(x) l’aire du rectangle AMRD
1. Sur quelle intervalle x peut il varier ?
2. a.Determiner BM en fonction de x
b. Determiner MN en fonctiom de x
c. En deduire f(x) en fonction de x
3. Montrer que f(x)= -2(x-4)^2 +32 . Determiner algebriquement les antecedents eventuels de 32 par f. Quel resultats trouve t on ?
4. Justifier, que pour tout x, f(x) est inferieur ou egale a 32. Interpreter le resultat.
7. a) Determiner g(x) en fontion de x
b) Repersenter la fonction g sur un graphique
c) Pour quelles vqleurs de x la piscine occupe la meme aire sur la terrasse et sur la pelouse ?
d) Retrouver ce resultat en resolvant algebriquement une equation qu’on le precisera.
5. a) Exprimer en fonction de x, l’aire totale de la piscine totale A(x).
b) Pour quelle position de M telle que la piscine ait une surface maximale ?
Mr Dupond veut avoir une piscine de forme rectangulaire dans son jardin.
Il souhaite la construire en partie en dehors de la terasse donne AB= 8, AC= 16
AMNP schematise la mpartie de la piscine. On donne AD= 5
AMRD l’autre partie de la piscine. On donne AD= 5
A. Etude de differentes fonctions
On pose x= AM
On appelle f(x) l’aire du rectangle AMNP et g(x) l’aire du rectangle AMRD
1. Sur quelle intervalle x peut il varier ?
2. a.Determiner BM en fonction de x
b. Determiner MN en fonctiom de x
c. En deduire f(x) en fonction de x
3. Montrer que f(x)= -2(x-4)^2 +32 . Determiner algebriquement les antecedents eventuels de 32 par f. Quel resultats trouve t on ?
4. Justifier, que pour tout x, f(x) est inferieur ou egale a 32. Interpreter le resultat.
7. a) Determiner g(x) en fontion de x
b) Repersenter la fonction g sur un graphique
c) Pour quelles vqleurs de x la piscine occupe la meme aire sur la terrasse et sur la pelouse ?
d) Retrouver ce resultat en resolvant algebriquement une equation qu’on le precisera.
5. a) Exprimer en fonction de x, l’aire totale de la piscine totale A(x).
b) Pour quelle position de M telle que la piscine ait une surface maximale ?
1 Réponse
-
1. Réponse isapaul
Bonjour
Voir pièce jointe pour le schéma
AB = 8 ; AC = 16 ; AD = 5
AM = x
1)
M est un point situé sur le segment AB donc
les valeurs de x sont comprises entre 0 et 8 mètres
2a)
BM = AB - AM = 8 - x
b)
PA = AC - MN
D'après le théorème de Thalès
PN / AB = PA / AC = (AC - MN) / AC
x/8 = (16-MN)/16
MN = 16 - 2x
c)
Aire piscine sur terrasse AMNP = f(x)
f(x) = AM * MN = x(16 - 2x) = -2x² + 16x
3)
f(x) = -2(x - 4)²+32 en développant
f(x) = -2(x² - 8x + 16) + 32
f(x) = -2x² - 16x -32 + 32
f(x) = -2x² - 16x ce qu'il fallait démontrer
4)
f(x) < 32
-2(x-4)²+32 < 32 revient à
-2(x-4)² < 0
comme un carré est toujours POSITIF alors la ligne au-dessus est toujours vérifiée
7a)
Aire piscine en dehors de la terrasse = aire ADMR = g(x)
g(x) = AD * AM = 5x
b)
voir pièce jointe
c)
f(x) = g(x) soit
-2x² + 16x = 5x
-2x² + 11x = 0
x( -2x + 11) = 0 produit de facteurs est nul si un facteur est nul
soit x = 0 soit -2x + 11 = 0 pour x = -11/-2 = 11/2 = 5.5
5)
Aire totale piscine = f(x) + g(x) = -2x² + 16x + 5x = -2x² + 21x
fonction de forme de ax² + bx + c
comme le terme "a" est négatif alors on peut en déduire que l'Aire de la piscine sera maximale pour x = -b/2a = -21 / -4 = 21/4 = 5.25
Aire maximale = -2(5.25)² + 21(5.25) = 55.125 m²
Bonne journéeAutres questions
