Exercise 20 plz help

Explications étape par étape:

[tex]8 \sin(x ) \cos(x) \cos(2x) \cos(4x) = \\ 8 \times \frac{1}{2} \sin(2x) \cos(2x) \cos(4x) [/tex]

car

[tex] \sin(2x) = 2 \sin(x )\cos(x) [/tex]

(Formule)

alors

[tex] \sin(x) \cos(x) = \frac{1}{2} \sin(2x) [/tex]

ensuite

[tex]4 \sin(2x) \cos(2x) \cos(4x) = \\ 4 \times \frac{1}{2} \sin(2 \times 2x) \cos(4x) [/tex]

[tex]2 \sin(4x) \cos(4x) = \sin(8x) [/tex]

Pour la 2eme question:

[tex] \sin( \frac{8\pi}{7} ) = \sin( \frac{7 \times \pi}{7} + \frac{\pi}{7} ) \\ = \sin(\pi + \frac{\pi}{7} ) [/tex]

on sait que

[tex] \sin(\pi + x) = - \sin(x) [/tex]

(Formule)

D'ou

[tex] \sin( \frac{8\pi}{7} ) = - \sin( \frac{\pi}{7} ) [/tex]

Pour la question b:

On a trouvé précédemment que:

[tex]8 \sin(x ) \cos(x) \cos(2x) \cos(4x) = \sin(8x ) [/tex]

Donc

[tex]cos(x) \cos(2x) \cos(4x) = \frac{ \sin(8x) }{8 \sin(x) } [/tex]

En remplaçant x par

[tex] \frac{\pi}{7} [/tex]

On obtient:

[tex] \cos( \frac{\pi}{7} ) \cos( \frac{2\pi}{7} ) \cos( \frac{4\pi}{7} ) = \frac{ \sin( \frac{8\pi}{7} ) }{8 \sin( \frac{\pi}{7} ) } [/tex]

D'aprés 2a:

[tex] \sin( \frac{8\pi}{7} ) = - \sin( \frac{\pi}{7} ) [/tex]

donc

[tex] \cos( \frac{\pi}{7} ) \cos( \frac{2\pi}{7} ) \cos( \frac{4\pi}{7} ) = \frac{ \ - sin( \frac{\pi}{7} ) }{8 \sin( \frac{\pi}{7} ) } [/tex]

d'ou

[tex]\cos( \frac{\pi}{7} ) \cos( \frac{2\pi}{7} ) \cos( \frac{4\pi}{7} ) = - \frac{1}{8} [/tex]