Bonjour j’aurais besoin d’aide pour la question 3 de l’exercice 98

Réponse :

Re bonjour

Explications étape par étape

1)

BON.

2) Tu as donc développer le membre de droite et tu as retrouvé celui de gauche.

3)

On va étudier le signe de : h(x)=f(x)-(3a²x-2a³)

soit :

h(x)=x³-3a²x+2a³

On a vu en 2) que :

h(x)=(x-a)(x²+ax-2a²)

Il  faut faire un tableau de signes.

x- a > 0 pour x > a.

x²+ax-2a² est négatif entre les racines car le coeff de x² est > 0.

Δ=a²-4(1)(-2a²)=9a²

√(9a²)=3*|a| ==>3 fois la valeur absolue de "a". On va étudier deux  cas selon le signe de "a".

Si a < 0 , alors |a|=-a et √(9a²)=-3a . Donc :

x1=(-a-(-3a))/2=a

x2=(-a+(-3a))/2=-2a

Tableau de signes (A noter que  avec a < 0 , on a :  a < -2a

car a < 0 et -2a > 0. OK ? ) :

x-------------->-inf....................a...................-2a...............+inf

(x-a)---------->...........-..............0.............+...............+..........

x²+ax-2a²-->..........+...............0...........-..........0..........+........

h(x)---------->.........-..................0...........-.........0.........+........

Sur ]-inf;-2a] , h(x) < 0 donc f(x) - (3ax²-2a³) < 0 et Cf au-dessous de T(a). Il y a point de tangence en x=a.

Sur [-2a;+inf[ , Cf au-dessus de T(a).

Si a > 0 , alors |a|=a et √(9a²)=3a

x1=(-a-3a)/2=-2a

x2=(-a+3a)/2=a

Et dans ce cas : -2a < a

Tableau de signes :

x----------------->-inf.................-2a..................a................+inf

(x-a)------------>...........-............................-.......0............+..........

x²+ax-2a²--->..............+..........0..........-.........0...........+........

h(x)------->...................-.............0........+...........0............+......

Sur ]-inf;-2a] , Cf au-dessous de T(a).

Sur [-2a;+inf[ , Cf au-dessus de T(a).

Après observation des deux tableaux de  signes , on peut conclure :

Pour tout "a" réel :

Sur ]-inf;-2a] , Cf au-dessous de T(a).

Sur [-2a;+inf[ , Cf au-dessus de T(a).

Voir graph avec deux exemples :

En rouge : a=-2 donc T(-2) a pour équation y=12x+16.

En bleu : a=2 donc T(2) a pour équation y=12x-16.