bonjour j'aurai besoin d'aide pour cet exercice svp !! On considère un rectangle ABCD tel que AB=1 et BC= racine de 2.On appelle E le milieu de [BC] et K le poi
Mathématiques
taysmith06
Question
bonjour j'aurai besoin d'aide pour cet exercice svp !!
On considère un rectangle ABCD tel que AB=1 et BC= racine de 2.On appelle E le milieu de [BC] et K le point d’intersection de (AE) et (BD).
1) Calculer AE et BD. On veut démontrer de 4 façons différentes, que les droites (AE) et (BD) sont perpendiculaires.
2) 1 ère méthode : a) en utilisant le théorème de Thalès, calculer AK et BK. b) en déduire que le triangle AKB est rectangle en K. Conclure.
3) 2e méthode : a) Démontrer que le point K est le centre de gravité du triangle ABC.
b) En déduire les valeurs de AK et BK ; Conclure.
4) 3e méthode : a) On appelle M le milieu de [DC]. Calculer EM et AM. b) En déduire que le triangle AEM est rectangle en E. Conclure.
5) 4e méthode : a) Montrer que les angles BAE et DBC ont le même sinus. b) En déduire que le triangle AKB est rectangle en K. Conclure.
On considère un rectangle ABCD tel que AB=1 et BC= racine de 2.On appelle E le milieu de [BC] et K le point d’intersection de (AE) et (BD).
1) Calculer AE et BD. On veut démontrer de 4 façons différentes, que les droites (AE) et (BD) sont perpendiculaires.
2) 1 ère méthode : a) en utilisant le théorème de Thalès, calculer AK et BK. b) en déduire que le triangle AKB est rectangle en K. Conclure.
3) 2e méthode : a) Démontrer que le point K est le centre de gravité du triangle ABC.
b) En déduire les valeurs de AK et BK ; Conclure.
4) 3e méthode : a) On appelle M le milieu de [DC]. Calculer EM et AM. b) En déduire que le triangle AEM est rectangle en E. Conclure.
5) 4e méthode : a) Montrer que les angles BAE et DBC ont le même sinus. b) En déduire que le triangle AKB est rectangle en K. Conclure.
1 Réponse
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1. Réponse chouderrayhan
On considère un rectangle ABCD tel et que AB=1 et BC=√2.
On appelle E le milieu de [BC] et K le point d'intersection de (AE) et (BD).
1) a. Faire une figure. Cf. fichier joint.
b. Calculer AE et BD. Selon le théorème de Pythagore, on a : AE² = AB² + BE²
= AB² + (BC/2)² et : BD² = AB² + AD²
= AB² + BC² D'où : AE = √[1² + (√2/2)²]
= √(1 + 2/4)
= √(3/2) et : BD = √(1² + √2²)
= √(1 + 2)
= √3 On veut démontrer, de 4 façons différentes, que les droites (AE) et (BD) sont perpendiculaires. 2) 1ère méthode a) En utilisant le théorème de Thalés, calculer AK et BK. Selon le théorème de Thalès, puisque :
— (AD) // (BE) par construction
— D, K et B ainsi que A, K et E sont alignés dans le même ordre
on a : AD/EB = DK/KB = EK/KA = 2/1
autrement dit : AK = 2/3 AE = 2/3 × √(3/2) = 2√(3/2)/3
�� et : BK = 1/3 BD = 1/3 × √3 = √3/3
b) En déduire que le triangle AKB est rectangle en K. Conclure. or : AK² + KB² = [2√(3/2)/3]² + [√3/3]²
= [(4 × 3/(2 × 9)] + [3/9]
= (2/3) + (1/3)
= 1
= 1²
= AB²
d'où, selon le théorème de Pythagore, le triangle AKB est rectangle en K On a donc (AK) ⊥ (BK) soit (AE) ⊥ (BD)
3) 2ème méthode a) Démontrer que le point K est le centre de gravité du triangle ABC. Comme (BD) est une diagonale de ABCD,
elle croise l'autre diagonale [AC] en son milieu
d'où (BD) partant du sommet B pour couper [AC] en son milieu
est donc une médiatrice de ABC. Comme E est le milieu de [BC]
(AE) partant du sommet A pour couper [BC] en son milieu
est donc une médiatrice de ABC.
b) En déduire les valeurs de AK et BK. Conclure. (AK) et (BK) étant toutes deux médiatrices de ABC, on a : AK = 2/3 × AE et BK = 2/3 × 1/2 BD
= 1/3 × BD En reprenant le calcul précédemment mis, on trouve que : AK² + KB² = AB²
d'où, selon le théorème de Pythagore, le triangle AKB est rectangle en K On a donc (AK) ⊥ (BK) soit (AE) ⊥ (BD)
4. 3ème méthode a) On appelle M le milieu de [DC]. Calculer EM et AM. Selon le théorème de Pythagore, on a : EM² = MC² + CE²
= (AB/2)² + (BC/2)² et : AM² = DM² + AD²
= (AB/2)² + BC² D'où : EM = √[(1/2)² + (√2/2)²]
= √(1/4 + 2/4)
= √(3/4) et : AM = √[(1/2)² + (√2)²]
= √(1/4 + 2)
= √(9/4)
= 3/2
b) En déduire que le triangle AEM est rectangle en E. Conclure. On a ainsi : AE² + EM² = (√3/2)² + √(3/4)²
= 3/2 + 3/4
= 9/4 = (3/2)²
= AM² Donc, selon le théorème de Pythagore, AEM est rectangle en E D'où (EM) ⊥ (AE) Or, selon le théorème de Thalès, puisque :
— D, M et C ainsi que B, E et C sont alignés dans le même ordre,
— E et M étant les milieux respectifs de [BC] et [DC]
ce qui fait que DM/DC = BE/BC
on a (DB) // (EM) Donc, puisque (DB) // (EM) et (EM) ⊥ (AE), alors (DB) ⊥ (AE)
5. 4ème méthode. a) Montrer que les angles BÂE et DBC ont le même sinus. sin BAE = BE/AE
= (√2/2)/√(3/2)
= √(2/4) × √(2/3)
= √(4/12)
= √(1/3) sin DBC = DC/BD
= AB/BD
= 1/√3
= √1/√3
= √(1/3) d'où sin BAE = sin DBC = √(1/3)
b) En déduire que le triangle AKB est rectangle en K. Conclure. Or ABK = ABE − KBE
= ABE − DBC
= 90° − BAE D'où ABK + BAE = 90° Donc AKB = 180° − (ABK + BAE)
= 180° − 90°
= 90° Aussi AKB est-il rectangle en K. On a donc (AK) ⊥ (BK) soit (AE) ⊥ (BD)Autres questions
