bonsoir j'aurai besoin d'aide pour cette exercice difficile merci ​

Réponse :

f(x) = 1 + 1/x       Df = ]0 ; + ∞[

1) pour tout réel a > 0 , démontrer que f est dérivable en a et que

f '(a) = - 1/a²

  τ(h) = [f(a+h) - f(a)]/h = ((1  + 1/(a+h) - (1 + 1/a))/h = (1/(a+h) - 1/a)/h

         = (a - (a+ h))/a(a+h)/h = - h/a(a+h)h = - 1/a(a + h)  

f(a+h) = 1  + 1/(a+h)

f(a) = 1 + 1/a

 lim τ(h) = lim (- 1/a(a+h) = - 1/a²

 h→0          h→0  

or  f '(a) = lim τ(h) = - 1/a²

                h→0

donc  f est dérivable en a  et sa dérivée est f '(a) = - 1/a²

2) soit  A un point de la courbe C d'abscisse a, démontrer que l'équation de la tangente T au point a est :   y = (- 1/a²) x + 1 + 2/a

  l'équation de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse a  est :

         y = f(a) + f '(a)(x - a)

            = 1 + 1/a + (- 1/a²)(x - a)

            =  1 + 1/a + (- 1/a²)x  + 1/a

            = (- 1/a²) x + 1 + 2/a

3) montrer que T passe par le point M  si et seulement si :  a² + 2 a - 3 = 0

         T passe par le point M(3 ; 0)  ⇔ y = 0 = (- 1/a²)*3  + 1 + 2/a

⇔ - 3/a² + 1 + 2/a = 0  ⇔ - 3/a² + a²/a² + 2 a/a² = 0

⇔ (- 3 + a² + 2 a)/a² = 0   ⇔  a² + 2 a - 3 = 0

donc  T  passe par le point M

4) résoudre cette équation et répondre au problème

     a² + 2 a - 3 = 0  ⇔   a² + 2 a - 3  + 1 - 1 = 0  ⇔ a² + 2 a + 1 - 4 = 0

⇔ (a + 1)² - 4 = 0  ⇔  (a + 1 + 2)(a + 1 - 2) = 0   ⇔ (a + 3)(a - 1) = 0

or  a > 0   donc  l'équation possède une seule solution  a = 1    

donc  en x = 1 ; l'avion abat le montre  au point M

Explications étape par étape