Aider moi svp!!! Je n'arrive pas avec la relation de récurrences

Réponse :

Initialisation et récurrence

Explications étape par étape

Initialisation

vérifions que l'inégalité est vraie au 1er rang (n=1):

U1 = (3 - 1) / 1 = 2

Vérifions si l'inégalité est vraie pour 2:

Elle sera vraie <=> 2/rac2 <= 2 <= 4/rac2

<=> 2 <= 2rac2 <= 4 (nombres positifs, on peut passer tous les membres au carré en conservant le sens de l'inégalité)

<=> 4 <= 8 <= 16, ce qui est vrai.

Donc l'inégalité est vraie au rang n=1

Récurrence.

Supposons que l'inég est vraie au rang n, montrons qu'elle sera vraie au rang n+1:

l'inégalité au rang n peut s'écrire:

2/racn <= (3+(-1)^n)/racn <= 4/racn on peut multiplier par racn qui est positif:

<=> 2 <= 3+(-1)^n <= 4

<=> -1 <= (-1)^n <= 1

Multiplions par (-1):

l'inégalité donne (on inverse les sens des inégalités puisqu'on multiplie par un négatif):

1 >= (-1)^(n+1) >= -1 ce qui s'écrit dans l'autre sens:

-1 <= (-1)^(n+1) <= 1

ce qui correspond à l'inégalité au rang n+1:

2/rac(n+1)<= (3+(-1)^(n+1))/rac(n+1)

Donc l'inégalité est vraie au rang n+1 si elle est vraie au rang n.